L'Énigme d'Einstein

Bonjour Amis Bourguignons lecteurs de "Montceau - News" !

Voici de ma part , tout spécialement démontré et rédigé pour vous , l'intégralité de raisonnement des méthodes de résolution de l'énigme d'Einstein que les généreux rédacteurs de votre média préféré me font la gentillesse de relayer !

Vous trouverez peut-être ce contenu un peu long , compliqué et particulièrement générateur de "migraine" ...
Certes je peux comprendre ... mais , je veux d'emblée , assurer aux quelques "téméraires" qui auront la patience de tout lire jusqu'à la fin , qu'il ne leur sera pas nécessaire de vider le stock d'aspirine de leur pharmacie de quartier ...
Un ou deux cachets suffiront !!


Rappelons d'abord l'énoncé de l'énigme :  
Dans une rue de Zurich , il y a 5 maisons mitoyennes de couleurs différentes.
Dans chaque maison, vit une personne de nationalité différente.
Chaque personne consomme une boisson différente, fume un type de cigarette différent et élève un animal différent .

Sachant que :

1) L’anglais habite la maison rouge.

2) Le Suédois possède un chien.

3) Le Danois boit du thé.

4) La maison verte est située à gauche de la maison blanche.

5) Dans la maison verte, on boit du café.

6) Le fumeur de Pall Mall possède un oiseau.

7) Dans la maison du milieu, on boit du lait.

8) Dans la maison jaune, on fume des Dunhill.

9) Le Norvégien habite la première maison.

10) Le fumeur de Rothmann a un voisin qui possède un chat.

11) Celui qui possède un cheval a un voisin qui fume des Dunhill.

12) Le fumeur de Philip Morris boit de la bière.

13) Le Norvégien est voisin de la maison bleue.

14) L’Allemand fume des Marlboro.

15) Le fumeur de Rothmann a un voisin qui boit de l’eau.

La question est :
Qui possède le « Poisson rouge » ?

 

Le problème consiste donc à déterminer où se trouve le Poisson en se référant aux informations contenues dans les 15 énoncés ci-dessus que nous appellerons les « Axiomes » de l'énigme .

Il faut donc procéder par déduction à partir de ces axiomes pour enrichir les informations à notre disposition jusqu'à obtenir celle recherchée !

 

Quatre méthodes de résolution possibles :

1) Résolution préformelle en langue naturelle (en l'occurrence : le Français)

2) Résolution formalisée ( logique mathématique , plus précisément « calcul des prédicats » )

3) Résolution formalisée « bis » (logique intuitive , mais toujours basée sur le calcul des prédicats)

4) Résolution équationnelle .

 

 

1) Résolution préformelle en langue naturelle :

Plus que les habitants, les animaux , les boissons et les cigarettes , les objets visés par le problème sont les maisons et la question à résoudre n’est pas tant de savoir "qui élève le poisson" que "dans quelle maison se trouve le poisson" ?
De ce point de vue, celui des maisons, non seulement la couleur, mais également la nationalité de l’habitant, la boisson qui y est bue, les cigarettes qui y sont fumées, et l’animal qui y est élevé sont considérés comme des attributs des maisons.
Chaque attribut appartient à une espèce : couleur, nationalité, boisson, cigarette et animal.
On identifie d'abord les maisons en leur donnant un numéro (ou indice) : 1, 2, 3, 4 et 5.
On parlera de la maison n° 1, de la maison n° 2, etc.... , ou de façon générique, de la maison n° i .
La relation de voisinage entre maisons est définie par la relation de succession entre leurs indices : la maison n° i est voisine des maisons n° i−1 et i + 1. On a en particulier que la maison n° i "est à gauche de" la maison n° i + 1.

 

Vous devez transcrire trois formes d’affirmations :
– celles qui visent une maison précise, par exemple la première maison (axiome 9)
– celles qui établissent un lien entre deux attributs, par exemple être habitée par l’Anglais et être rouge (axiome 1)
– celles qui combinent liens entre attributs et voisinage, par exemple être la maison où l’on fume des Dunhill et voisine de la maison où il y a un cheval (axiome 11).

 

Illustrons à partir des trois exemples pris ci-dessus les principes de transcription :
– La transcription de la première forme est immédiate : l’expression "la première maison" devient  "la maison n° 1"
– Pour la deuxième forme, l’expression " L’Anglais habite la maison rouge " exprime simplement que la maison où  habite l’Anglais et la maison rouge sont la même , i.e. ont le même indice .
L’axiome 1 devient : si la maison n° i est rouge alors l’Anglais habite la maison n° i, et réciproquement, si l’Anglais habite la maison n° i alors la maison n° i est rouge.
Cette double implication définit l’équivalence logique que l’on énonce : la maison n° i est rouge si et seulement si l’Anglais habite la maison n° i.
– Pour la troisième forme, on utilise l’expression arithmétique de la relation de voisinage. L’axiome 11 devient : si on fume des Dunhill dans la maison n° i alors dans la maison n° i−1  ou , il y a un cheval dans la maison n° i + 1.


Reformulation des axiomes : 
Selon ces principes, les 15 axiomes de l’énigme deviennent :

1.) La maison n° i est rouge si et seulement si l’Anglais habite la maison n° i.
2.) Le Suédois habite la maison n° i si et seulement si il y a un chien dans la maison n° i.
3.) Le Danois habite la maison n° i si et seulement si on boit du thé dans la maison n° i.
4.) Si la maison n° i est verte alors la maison n° i + 1 est blanche.
5.) La maison n° i est verte si et seulement si on boit du café dans la maison n°i .
6.) On fume des Pall Mall dans la maison n° i si et seulement si il y a un oiseau dans la maison n° i.
7.) On boit du lait dans la maison n° 3.
8.) La maison n° i est jaune si et seulement si on fume des Dunhill dans la maison n° i.
9.) Le Norvégien habite la maison n° i.
10.) Si on fume des Rothmann dans la maison n° i alors il y a un chat dans la maison n° i−1 ou dans la maison n° i + 1.
11.) Si on fume des Dunhill dans la maison n° i alors il y a un cheval dans la maison no i−1 ou dans la maison no i + 1.
12.) On boit de la bière dans la maison n° i si et seulement si on fume des Philipp Morris dans la maison n° i.
13.) Si le Norvégien habite la maison n° i alors la maison n° i−1 ou la maison n° i + 1 est bleue.
14.) L’Allemand habite la maison n° i si et seulement si on fume des Marlboro dans la maison n° i.
15.) Si on boit de l’eau dans la maison n° i alors on fume des Rothmann dans la maison n° i−1 ou dans la maison n° i + 1.

 

Données et axiomes implicites : 
Pour mener à bien le raisonnement permettant de résoudre l’énigme, il faut faire appel  à quelques propriétés implicites du monde des maisons.
La première, que l’on déduit du fait qu’il y a "5 maisons " (qui sont numérotées de 1 à 5), est qu’il n’y a pas de maison n° 0 ni de maison n° 6.
Les maisons n° 1 et n° 5 n’auront donc qu’une seule voisine, respectivement les maisons n° 2 et n° 4.

L’ensemble des couleurs, nationalités, etc. n’est pas donné explicitement.
On peut cependant les déduire des axiomes donnés et de la question finale .
Les voici représentés chacun par un ensemble de 5 constantes mnémoniques :
Couleur :
 Jaune, Bleu, Rouge, Vert, Blanc
Nationalité : Anglais , Suédois, Norvégien , Danois , Allemand . 
Boisson : Thé , Eau , Café , Lait , Bière . 
Cigarettes : Philipp Morris , Pal Mall , Marlboro , Dunhill, Rothmann
Animaux : Poisson , Chat , Chien , Cheval , Oiseau
Chaque maison possède un attribut de chacune des espèces.
Ce qui signifie que pour chaque maison, étant donné une espèce il existe un attribut de cette espèce tel que cette maison possède cet attribut.
Par exemple, pour la maison n° 1 et l’espèce des boissons , on a : dans la maison n° 1, on boit de la bière ou du café ou du thé ou de du lait ou de l’eau.
Il y a 5 maisons et chaque espèce d’attribut comprend 5 valeurs.
Il faut donc que pour chaque attribut, il existe une maison qui possède cet attribut.
Par exemple : il existe un indice i, entre 1 et 5, tel que la maison n° i est jaune.
Comme il n’y a que 5 maisons (un nombre fini), le fait qu’il existe une maison possédant un certain attribut peut s’exprimer par une alternative :
la maison n° 1 possède l’attribut ou la maison n° 2, ou la maison n° 3, ou la maison n° 4, ou la maison n° 5.
Par exemple : la maison jaune est la maison n° 1 ou la maison n° 2, ... ou la maison n° 5.
L’usage de l’adjectif "différent" dans l’énoncé de l’énigme induit que chaque maison n’a qu’un seul attribut et que chaque espèce n'a qu'une seule couleur, qu'une seule nationalité, etc...
De cette propriété d’unicité , on tire que si la maison n° i possède un attribut d’une certaine espèce , alors elle ne possède aucun autre attribut de cette même espèce.
Par exemple si la maison n° 1 est jaune  , alors la maison n° 1 n’est ni verte, ni rouge, etc...  
Réciproquement, chaque attribut ne peut l’être que d’une seule maison.
Par exemple, si la maison n° 1 est jaune alors ni la maison n° 2, ni la maison n° 3, etc...  ne sont jaunes.

Pour résumer, on a deux propriétés d’existence accompagnées chacune d’une clause d’unicité :
– Existence : 
" pour chaque maison, étant donné une espèce , il existe un attribut de cette espèce tel que cette maison possède cet attribut "
"  pour chaque attribut, il existe une maison qui possède cet attribut "
– Unicité :  
" chaque maison n’a qu’un seul attribut de chaque espèce ", " chaque attribut ne peut l’être que d’une seule maison "

 

Formes du raisonnement : 
On utilise essentiellement trois formes de raisonnements :
le modus ponens : si l’on sait que " si A alors B" et si l’on sait que "A " alors on a " B ".
l’élimination d’une alternative : si l’on sait que " A ou B " et si l’on sait que " non A " alors on a " B ".
la réduction par l’absurde : si l’on sait que " B " et si, en supposant " A ", on déduit "non B " alors on a " non A ".
Pour la lisibilité de cette première présentation, on ne suit pas à la lettre ces formes, mais l’esprit reste celui là  quand même .

25 "étapes" de raisonnement sont nécessaires pour relier ce que vous disent les "axiomes" (énoncés de l'énigme) colorés en bleu ci-dessous et ce que vous apprennent  successivement  les alternatives de déduction (en rouge) !
 

Étapes de résolution :

 
(1) Le norvégien habite la maison n° 1.

C’est l’axiome 9.
_________________________________________

(2) On boit du lait dans la maison no 3.
C’est l’axiome 7.
_________________________________________ 

(3) La maison bleue est la maison n° 2.
Par l’axiome 13 , on a que si le Norvégien habite la maison n° i alors la maison n° i−1 ou la maison n° i + 1 est bleue. Or le Norvégien habite la maison n° 1.  Donc la maison bleue est soit la maison n° 0, soit la maison n° 2. Mais il n’y a pas de maison n° 0. 
Donc la maison bleue est la maison n° 2.
_________________________________________

(4) La maison verte est la maison n° 4.
– Si la maison verte est la maison n° 1 alors , par
l’axiome 4 , la maison n° 2 est blanche. Ce qui contredit (3).
Donc la maison verte n’est pas la maison n° 1.
– Par
(3), la maison verte n’est pas la maison n° 2.
– Si la maison verte est la maison n° 3 alors, par
l’axiome 5 , on y boit du café , Ce qui contredit (2) . Donc la maison verte n’est pas la maison n° 3.
– Si la maison verte est la maison n° 5 alors , par
l’axiome 4 , la maison blanche est la maison n° 6. Or il n’y a pas de maison n° 6. Donc la maison verte n’est pas la maison n° 5 .
Il en découle que nécessairement la maison verte est la maison n° 4.
_________________________________________ 

(5) La maison blanche est la maison n° 5.
Par
l’axiome 4 , si la maison n° i est verte alors la maison n° i+1 est blanche. Or, par (4) , la maison 4 est verte.
Donc la maison blanche est la maison n° 5.
_________________________________________

(6) La maison rouge est la maison n° 3.
– Si la maison n° 1 est rouge alors, par
l’axiome 1 , l’Anglais habite la maison no 1. Ce qui contredit (1) . Donc la maison rouge n’est pas la maison n° 1.
– Par
(3) , la maison rouge n’est pas la maison n° 2.
– Par
(4) , la maison rouge n’est pas la maison n°4.
– Par
(5) , la maison rouge n’est pas la maison n° 5 .
Il en découle implicitement que la maison rouge est la maison n° 3.
________________________________________  

(7) La maison jaune est la maison n° 1.
– Par
(3), la maison jaune n’est pas la maison n° 2.
– Par
(6) , la maison jaune n’est pas la maison n° 3.
– Par
(4) , la maison jaune n’est pas la maison n° 4.
– Par
(5) , la maison jaune n’est pas la maison n° 5 .
Il en découle qu'obligatoirement , la maison jaune est la maison n° 1.
________________________________________ 

(8) On fume des Dunhill dans la maison n° 1.
Par
l’axiome 8 , on fume des Dunhill dans la maison jaune. Or, par (7) , la maison jaune est la maison n° 1.
Donc on fume des Dunhill dans la maison n° 1.
____________________________________________

(9) L’Anglais habite la maison n° 3.
Par
l’axiome 1 , l’Anglais habite la maison rouge. Or, par (6), la maison rouge est la maison n° 3.  
Donc l’Anglais habite la maison n° 3.
________________________________________

(10) On boit du café dans la maison n° 4.
Par
l’axiome 5 , on boit du café dans la maison verte. Or, par (4) , la maison verte est la maison n° 4 .
Donc on boit du café dans la maison n° 4.

________________________________________
(11) Il y a un cheval dans la maison n° 2.
Par
l’axiome 11 , on a que si l’on fume des Dunhill dans la maison n° i alors il y a un cheval dans la maison n° i−1 ou dans la maison n° i+1 . Or, par (8) , on fume des Dunhill dans la maison n° 1 . Donc il y a un cheval soit dans la maison n° 0, soit dans la maison n° 2.  Comme la maison n° 0 n’existe pas, c’est donc dans la maison n° 2 qu’il y a un cheval.
________________________________________ 

(12) On boit de l’eau dans la maison n° 1.
– Si on boit de la bière dans la maison n°1 alors , par
l’axiome 12 , on y fume des Philipp Morris . Ce qui contredit (8). Donc on ne boit pas de bière dans la maison n° 1.
– Par
(10) , c’est dans la maison n° 4 que l’on boit du café . Donc on ne boit pas de café dans la maison n° 1.
– Si l’on boit du thé dans la maison n° 1 alors, par
(1) , c’est le Norvégien qui boit du thé . Ce qui contredit l’axiome 3 . Donc on ne boit pas de thé dans la maison n° 1.
– Si l’on boit du lait dans la maison n° 1 alors on contredit par
(2). Donc on ne boit pas de lait dans la maison n° 1 .
Il en découle forcément qu' on boit de l’eau dans la maison n° 1.
_______________________________________ 

(13) On fume des Rothmann dans la maison n° 2.
Par
l’axiome 15 , si on boit de l’eau dans la maison n° i alors on fume des Rothmann soit dans la maison n° i − 1, soit dans la maison n° i + 1 . Or, par (12) , on boit de l’eau dans la maison n° 1 . Donc on fume des Rothmann soit dans la maison n° 0, soit dans la maison n° 2 . Comme la maison n° 0 n’existe pas, c’est donc dans la maison n° 2 que l’on fume des Rothmann .

________________________________________
(14) Le Danois habite la maison n° 2.
– Par
(9) , l’Anglais n’habite pas la maison n° 2.
– Si l’Allemand habite la maison n° 2 alors , par
l’axiome 14 , on fume des Marlboro dans la maison n° 2 . Ce qui contredit (13) .  Donc ce n’est pas l’Allemand qui habite la maison n° 2.
– Si le Suédois habite dans la maison n° 2 alors , par
l’axiome 2 , il y a un chien dans la maison n° 2 . Ce qui contredit (11) .  Donc ce n’est pas le suédois qui habite la maison n° 2.
– Par
l’axiome 9 , le Norvégien n’habite pas la maison n° 2 .
Il en découle donc mécaniquement que c’est le Danois qui habite la maison n° 2.
_______________________________________ 

(15) On boit du thé dans la maison n° 2.
Par
l’axiome 3 et (14) , on boit du thé dans la maison no 2.
_______________________________________

(16) On boit de la bière dans la maison n° 5.
– Par
(12) , on ne boit pas de bière dans la maison n° 1.
– Par
(15) , on ne boit pas de bière dans la maison n° 2.
– Par
l’axiome 7, on ne boit pas de bière dans la maison n° 3.
– Par
(10) , on ne boit pas de bière dans la maison no 4.

C’est donc infailliblement  dans la maison n° 5 que l’on boit de la bière.
_________________________________________________ 

(17) On fume des Philipp Morris dans la maison n° 5.
Par
l’axiome 12 et (16) , on fume des Philipp Morris dans la maison n° 5.

(18) L’Allemand habite la maison n° 4.
– Par
(1) , ce n’est pas l’Allemand qui habite la maison n° 1.
– Par
(14) , ce n’est pas l’Allemand qui habite la maison n° 2.
– Par
(9) , ce n’est pas l’Allemand qui habite la maison n° 3.
– Si l’Allemand habite la maison n° 5 alors ,
par l’axiome 14 , on y fume des Marlboro. Ce qui contredit (17) . Donc l’Allemand n’habite pas la maison n° 5.  Il en découle donc que l’Allemand habite la maison n° 4.
_________________________________________ 

(19) On fume des Marlboro dans la maison n° 4.
Par
l’axiome 14 et (18) , on fume des Marlboro dans la maison n° 4.
_________________________________________ 

(20) On fume des Pall Mall dans la maison n° 3.
– Par
(8) , ce n’est pas dans la maison n° 1 que l’on fume des Pall Mall.
– Par
(13) , ce n’est pas dans la maison n° 2 que l’on fume des Pall Mall.
– Par
(19) , ce n’est pas dans la maison n° 4 que l’on fume des Pall Mall.
– Par
(17) , ce n’est pas dans la maison n° 5 que l’on fume des Pall Mall .
Donc , on fume des Pall Mall dans la maison n° 3.
__________________________________________

(21) Le Suédois habite la maison no 5.
– Par
(1) , ce n’est pas le Suédois qui habite la maison n° 1.
– Par
(14) , ce n’est pas le Suédois qui habite la maison n° 2.
– Par
(9) , ce n’est pas le Suédois qui habite la maison n° 3.
– Par
(18) , ce n’est pas le Suédois qui habite la maison n° 4.
Donc , nécessairement, le Suédois habite la maison n° 5.
___________________________________________

(22) Il y a un oiseau dans la maison no 3.
Par
l’axiome 6 et (20) , il y a un oiseau dans la maison no 3.
___________________________________________

(23) Il y a un chien dans la maison no 5.
Par
l’axiome 2 et (21) , il y a un chien dans la maison no 5.
___________________________________________

(24) Il y a un chat dans la maison n° 1.
Par
l’axiome 10, si on fume des Rothmann dans la maison n° i , alors il y a un chat soit dans la maison n° i−1, soit dans la maison n° i + 1.
Or, par
(13) , on fume des Rothmann dans la maison n° 2.
Donc il y a un chat soit dans la maison n° 1, soit dans la maison n° 3.
Or, par
(22) , il n’y a pas de chat dans la maison n° 3.
Donc c’est dans la maison n° 1 qu’il y a un chat.
___________________________________________

(25) C’est dans la maison n° 4 qu’il y a un poisson!
– Par
(24) , il n’y a pas de poisson dans la maison n° 1.
– Par
(11) , il n’y a pas de poisson dans la maison n° 2.
– Par
(22) , il n’y a pas de poisson dans la maison n° 3.
– Par
(23) , il n’y a pas de poisson dans la maison n° 5.

C’est donc incontestablement dans la maison n° 4  que se trouve le poisson !

 

Hé bien ... Amis Bourguignons ... qu'en dites-vous ?
In fine ... pas si ardue l'énigme de "Monsieur Albert" !!

Voyons maintenant les autres méthodes ... mais avant , prenons un peu "d'altitude" !

P1000741

Cliché pris du sommet de l'Aiguillle du Midi : le "Mont Blanc du Tacul" , le "Mont Maudit" et le "Mont-Blanc"

Reprenons ...

2) Résolution formalisée en calcul des prédicats :

Le calcul des prédicats est un langage formel d’écriture conçu pour les mathématiques mais que l’on peut appliquer (ou du moins tenter d’appliquer) dans n’importe quel domaine où la rigueur de l’expression et du raisonnement sont requises.
La base du langage est la relation d’un attribut (ou propriété ou prédicat) et d’un individu.
Par exemple : la maison n° 1 (l’individu) est jaune (l’attribut).
On formalise dans l’écriture cette relation en utilisant la notation fonctionnelle : dans notre exemple, Jaune(1).
Toutes les expressions de la forme P(x) qui expriment la relation entre individu (x) et attribut (P) sont appelées formules atomiques.
Dans la forme générale du calcul des prédicats, la relation à un attribut peut concerner plusieurs individus ;  on l'écrit  alors : P(x1,x2,...,xn).

La part de langage utile pour exprimer et résoudre l’énigme utilisera comme ensemble de symboles de prédicats , les constantes mnémoniques énumérant les attributs possibles.
Le langage du calcul des prédicats est un langage de formules.
Une formule peut être construite par négation d’une formule : nous écrivons
¬A la négation de la formule A .
Une formule peut être obtenue par disjonction (le « ou » logique) de deux formules ; nous écrivons
A1∨A2 la disjonction des formules A1 et A2.
Une formule peut être obtenue par conjonction (le « et » logique) de deux formules ; nous écrivons
A1 ∧ A2 la conjonction des formules A1 et A2. Une formule peut être obtenue par implication d’une formule par une autre ; on écrit A1 → A2 l’implication logique de A2 par A1 (Rappelez-vous : en langue naturelle : si A1 alors A2).
La double implication (le « si et seulement si »), ou équivalence logique entre les formules
A1 et A2 s’écrit
A1 ↔ A2 ; il s’agit en fait d’une abréviation pour (A1 → A2) ∧ (A2 → A1) .
Une formule peut énoncer l’existence de quelque chose (valeur ou individu) ; on écrit alors  
∃x.A  la formule qui énonce qu’il existe un x tel que A .
Enfin, une formule peut aussi énoncer la validité universelle d’une formule ; on écrit
∀x.A la formule qui ´enonce la validité de A pour tout x.

Règles de déduction :
Dans la première version de la résolution de l’énigme , j'ai utilisé trois « formes de raisonnement » :
le modus ponens , l’élimination d’une alternative et la réduction par l’absurde.
Dans la version formelle que je développe maintenant , les « formes de raisonnement » sont appelées règles de déduction ou d’inférence .
On y retrouve le modus ponens : si
A1 → A2 et A1 alors A2 ; ainsi que l’´elimination de l’alternative : si A1 ∨A2 et ¬A1 alors A2 , mais pas la "réduction par l’absurde" qui est remplacée par une règle
autorisant des déductions équivalentes , le modus tollens : si A1 → A2 et ¬A2 alors ¬A1. La règle d’élimination est en fait symétrique, on a aussi : si A1 ∨ A2 et ¬A2 alors A1.
Si on étend le" modus ponens" et le "modus tollens" aux équivalences , ces deux règles deviennent également symétriques : si
A1 ↔ A2 et A1 alors A2 ; si A1 ↔ A2 et A2 alors A1 ; si A1 ↔ A2 et ¬A1 alors ¬A2 ; si A1 ↔ A2 et ¬A2 alors ¬A1.

Autrement dit :  Ce qui vaut pour tout individu vaut pour un individu particulier.

Par exemple : A l’étape (3) du raisonnement, nous avons remplacé le de l’axiome 13 par la valeur particulière 1 .
La règle de particularisation est donc : si
∀i.A  alors pour tout individu t , A[i := t] .

Intuitivement, l’expression A[i := t] désigne la formule A dans laquelle la variable i a été remplacée par t.
Mais cette opération de remplacement ou substitution a une définition technique un peu complexe . 

Passons donc tout de suite à la "reformulation des axiomes" !
Les 15 énoncés formant le cœur de l’énigme se formalisent ainsi :


1. ∀i.(Rouge(i) ↔ Ang(i))
2. ∀i.(Sue(i) ↔ Chien(i))
3. ∀i.(Dan(i) ↔ The(i))
4. ∀i.(V ert(i) → Blanc(i + 1))
5. ∀i.(V ert(i) ↔ Cafe(i))
6. ∀i.(PaMal(i) ↔ Ois(i))
7. Lait(3)
8. ∀i.(Jaune(i) ↔ Dunh(i))
9. Nor(1)
10. ∀i.(Roth(i) → Chat(i−1)∨Chat(i + 1))
11. ∀i.(Dunh(i) → Chev(i−1)∨Chev(i + 1))
12. ∀i.(Biere(i) ↔ PhiMo(i))
13. ∀i.(Nor(i) → Bleu(i−1)∨Bleu(i + 1))
14. ∀i.(All(i) ↔ Marl(i))
15. ∀i.(Eau(i) → Roth(i−1)∨Roth(i + 1))

 

Les axiomes implicites concernent des attributs en général (couleur, nationalité, etc.).
Pour les formaliser, on pose des schémas d’axiomes qui utilisent des symboles de prédicats génériques (P, P0, P1, P2, etc.) à la place des symboles concrets (Jaune, Ang, Biere, etc.)
- « Pour chaque maison, ´etant donn´e une esp`ece il existe un attribut tel que cette maison poss`ede cet attribut » : soit une espèce K, si P1,P2,P3,P4,P5 sont les 5 attributs de K et i un indice, on a P1(i)∨P2(i)∨P3(i)∨P4(i)∨P5(i)
Ce que l’on peut ´ecrire plus synthétiquement WP∈KP(i). On note Ki cette formule.
- « Pour chaque attribut, il existe une maison qui possède cet attribut » : soit une espèce K, si P est un attribut dans K, on a P(1)∨P(2)∨P(3)∨P(4)∨P(5) Ce que l’on écrit plus synthétiquement Wi∈[1..5] P(i). On note IP cette formule.
- « Chaque maison n’a qu’un seul attribut que chaque espèce » : soit une espèce K, si P et P0 sont deux attributs dans K, on a ∀i.(P(i) →¬P0(i))
- « Chaque attribut ne peut l’être que d’une seule maison » : soit une espèce K, si P un attribut dans K, on a ∀i,j.(P(i) → i 6= j →¬P(j))
Qu’il n’y ait ni maison n° 1, ni maison n° 6 signifie que quelque soit l’attribut P, on n’a jamais ni P(0), ni P(6).
Pour tout symbole de prédicat P, on pose donc : ¬P(0) et ¬P(6) . On appelle ces formules respectivement N0 et N6 .

Formules atomiques opposables :
On dit qu’une formule atomique P(x) est opposable à une formule atomique P0(y) si de P(x) , on peut déduire ¬P0(y).
Les axiomes d’unicité fournissent un ensemble de couples de formules opposables . Par exemple si on a Bleu(2), de l’axiome ∀i.(Bleu(i) →¬Blanc(i)), on tire par particularisation Bleu(2) → ¬Blanc(2) , puis, par modus ponens, ¬Blanc(2).
Le second axiome d’unicité donne, par exemple : si on sait que Nor(1), de l’axiome ∀i,j.(Nor(i) → i 6= j →¬Nor(j)) , on tire en particulier Nor(1) → 1 6= 2 → ¬Nor(2) , puis en appliquant deux fois le modus ponens , ¬Nor(2).
Pour résumer, nous avons deux formes de formules opposables :
– même indice mais attributs différents  
– même attribut mais indices différents.

Preuves formelles :
Une preuve ou dérivation formelle est une suite de lignes de la forme  α A R où α est un numéro de ligne , A une formule et R la justification de la formule A.
Dans la forme stricte des dérivations formelles, une formule est justifiée à  la ligne α s’il s’agit d’un axiome ou si elle est obtenue par application d’une règle à une ou des formules présentes dans une ou des lignes de la dérivation situées avant la ligne α.
Dans la pratique, nous étendons un peu la notion stricte de justification afin de ne pas allourdir l’écriture de lignes dont les opérations sont par trop triviales. La liste des formes de justifications que nous allons utiliser est :
Ax.n qui d´esigne l’axiome num´ero n;
Ax.n[i := t] qui d´esigne la particularisation de l’axiome numéro n à la valeur t (usage implicite de la règle de particularisation)
Mod. Pon.(α1)(α2) qui désigne l’application du modus ponens entre la formules de la ligne α1 et celle de la ligne α2
Mod. Tol.(α1)(α2) qui désigne l’application du modus tollens entre la formules de la ligne α1 et celle de la ligne α2 
Cut(ϕ)(ϕ1,...,ϕn) ou` ϕ,ϕ1,...,ϕn sont soit des numéros de lignes, soit des noms d’axiomes implicites tels I ,Vert,B1,N0,etc..
La justification désigne la règle d'élimination de la disjonction référencée par ϕ opposée aux formules référencées par ϕ1,...,ϕn ;
Opp(α) qui désigne une formule atomique opposable à la formule de la ligne α.

Nous pouvons maintenant dérouler les 25 étapes de résolution !

(1) Le norvégien habite la maison n° 1 :
?1 Nor(1) Ax.9
_______________________________________

(2) On boit du lait dans la maison du milieu (n° 3) :
?2 Lait(3) Ax.7
_______________________________________

(3) La maison bleue est la maison n° 2 :
3.1 Nor(1) → Bleu(0)∨Bleu(2) Ax.13[i := 1]
3.2 Bleu(0)∨Bleu(2) Mod. Pon.(3.1)(1) ?3 Bleu(2) Cut(3.2)(N0)
_______________________________________

(4) La maison verte est la maison n° 4 :
4.1 Vert(1) → Blanc(2) Ax.4[i := 1]
4.2 ¬Blanc(2) Opp(3)
4.3 ¬V ert(1) Mod. Tol.(4.1)(4.2)
4.4 ¬Vert(2) Opp(3)
4.5 V ert(3) → Cafe(3) Ax.5[i := 3]
4.6 ¬Cafe(3) Opp(2)
4.7 ¬Vert(3) Mod. Tol.(4.5)(4.6)
4.8 V ert(5) → Blanc(6) Ax.4[i := 5]
4.9 ¬Vert(5) Mod. Tol.(4.8)(N6) ?4 Vert(4) Cut (IVert)(4.3,4.4,4.7,4.9)
________________________________________

(5) La maison blanche est la maison n° 5 :
5.1 Vert(4) → Blanc(5) Ax.4[i := 4] ?5 Blanc(5) Mod. Pon.(5.1)(4)
________________________________________

(6) La maison rouge est la maison n° 3 :
6.1 Rouge(1) → Ang(1) Ax.1[i := 1]
6.2 ¬Ang(1) Opp(1)
6.3 ¬Rouge(1) Mod. Tol.(6.1)(6.2)
6.4 ¬Rouge(2) Opp(3)
6.5 ¬Rouge(4) Opp(4)
6.6 ¬Rouge(5) Opp(5) ?6 Rouge(3) Cut(IRouge)(6.3,6.4,6.5,6.6)
________________________________________

(7) La maison jaune est la maison n° 1 :
7.1 ¬Jaune(2) Opp(3)
7.2 ¬Jaune(3) Opp(6)
7.3 ¬Jaune(4) Opp(4)
7.4 ¬Jaune(5) Opp(5) ?7 Jaune(1) Cut(IJaune)(7.1,7.2,7.3,7.4)
________________________________________

(8) On fume des Dunhill dans la maison n° 1 :
8.1 Jaune(1) → Dunh(1) Ax.8[i := 1] ?8 Dunh(1) Mod. Pon.(8.1)(7)
________________________________________

(9) L’Anglais habite la maison n° 3 :
9.1 Rouge(3) → Ang(3) Ax.1[i := 1] ?9 Ang(3) Mod. Pon.(9.1)(6)
________________________________________

(10) On boit du café dans la maison n° 4 :
10.1 V ert(4) → Cafe(4) Ax.5[i := 4] ?10 Cafe(4) Mod. Pon.(10.1)(4)
________________________________________

(11) Il y a un cheval dans la maison n° 2 :
11.1 Dunh(1) → Chev(0)∨Chev(2) Ax.11[i := 1]
11.2 Chev(0)∨Chev(2) Mod. Pon.(11.1)(8) ?11 Chev(2) Cut(11.2)(N0)
_________________________________________

(12) On boit de l’eau dans la maison n° 1 :
12.1 Biere(1) → PhiMo(1) Ax.12[i := 1] 1
2.2 ¬PhiMo(1) Opp(8)
12.3 ¬Biere(1) Mod. Tol.(12.1)(12.2)
12.4 ¬Cafe(1) Opp(10)
12.5 The(1) → Dan(1) Ax.1[i := 1]
12.6 ¬Dan(1) Opp(1)
12.7 ¬The(1) Mod. Tol.(12.5)(12.6)
12.8 ¬Lait(1) Opp(2) ?12 Eau(1) Cut(B1)(12.3,12.4,12.7,12.8)
___________________________________________

(13) On fume des Rothmann dans la maison n° 2 :
13.1 Eau(1) → Roth(0)∨Roth(2) Ax.15[i := 1]
13.2 Roth(0)∨Roth(2) Mod. Pon.(13.1)(12) ?13 Roth(2) Cut(13.2)(N0)
___________________________________________

(14) Le Danois habite la maison n° 2 :
14.1 ¬Ang(2) Opp(9) 1
4.2 All(2) → Marl(2) Ax.14[i := 2]
14.3 ¬Marl(2) Opp(13)
14.4 ¬All(2) Mod. Tol.(14.2)(14.3)
14.5 Sue(2) → Chien(2) Ax.2[i := 2]
14.6 ¬Chien(2) Opp(11)
14.7 ¬Sue(2) Mod. Tol.(14.5)(14.6)
14.8 ¬Nor(2) Opp(1) ?14 Dan(2) Cut(N2)(14.1,14.4,14.7,14.8)
_____________________________________________

(15) On boit du thé dans la maison n° 2 :
15.1 Sue(2) → The(2) Ax.3[i := 2] ?15 The(2) Mod. Pon.(15.1)(14)
_____________________________________________

(16) On boit de la bière dans la maison n° 5 :
16.1 ¬Biere(1) Opp(12)
16.2 ¬Biere(2) Opp(15)
16.3 ¬Biere(3) Opp(2)
16.4 ¬Biere(4) Opp(10) ?16 Biere(5) Cut(IBiere)(16.1,16.2,16.3,16.4)
_____________________________________________

(17) On fume des Philipp Morris dans la maison n° 5 :
17.1 Biere(5) → PhiMo(5) Ax.12[i := 5] ?17 PhiMo(5) Mod. Pon.(17.1)(16)
_____________________________________________

(18) L’Allemand habite la maison no°4 :
18.1 ¬All(1) Opp(1)
18.2 ¬All(2) Opp(14)
18.3 ¬All(3) Opp(9)
18.4 All(5) → Marl(5)
18.5 ¬Marl(5) Opp(17)
18.6 ¬All(5) Mod. Tol.(18.4)(18.5) ?18 All(4) Cut(IAll)(18.1,18.2,18.3,18.6)
______________________________________________

(19) On fume des Marlboro dans la maison n° 4 :
19.1 All(4) → Marl(4) Ax.14[i := 4] ?19 Marl(4) Mod. Pon.(19.1)(18)
______________________________________________

(20) On fume des Pall Mall dans la maison n° 3 :
20.1 ¬PaMal(1) Opp(8)
20.2 ¬PaMal(2) Opp(13)
20.3 ¬PaMal(4) Opp(19)

20.4 ¬PaMal(5) Opp(17) ?20 PaMal(3) Clash(IPaMal)(20.1,20.2,20.3,20.4)
_______________________________________________

(21) Le Suédois habite la maison n° 5 :
21.1 ¬Sue(1) Opp(1)
21.2 ¬Sue(2) Opp(14)
21.3 ¬Sue(3) Opp(9)
21.4 ¬Sue(4) Opp(18) ?21 Sue(5) Cut(ISue)(21.1,21.2,21.3,21.4)
_______________________________________________

(22) Il y a un oiseau dans la maison n° 3 :
22.1 PaMal(3) → Ois(3) Ax.6[i := 3] ?22 Ois(3) Mod. Pon.(22.1)(20)
_______________________________________________

(23) Il y a un chien dans la maison n° 5 :
23.1 Sue(5) → Chien(5) Ax.2[i := 5] ?23 Chien(5) Mod. Pon.(23.1)(21)
_______________________________________________

(24) Il y a un chat dans la maison n° 1 :
24.1 Roth(2) → Chat(1)∨Chat(3) Ax.10[i := 2]
24.2 Chat(1)∨Chat(3) Mod. Pon.(24.1)(13)
24.3 ¬Chat(3) Opp(22) ?24 Chat(1) Cut(24.2)(24.3)
________________________________________________

(25) C’est dans la maison n° 4 qu’il y a un poisson!
25.1 ¬Pois(1) Opp(24)
25.2 ¬Pois(2) Opp(11)
25.3 ¬Pois(3) Opp(22)
25.4 ¬Pois(5) Opp(23) ?25 Pois(4) Cut(IPois)(25.1,25.2,25.3,25.4)

 

 Bien ... chers amis ... que diriez-vous d'une deuxième petite pause ?

P1000934

Face Ouest du "Petit Dru" . A droite , l'arête des "Flammes de pierre" .


3) Résolution "bis" (logique intuitive) en calcul des prédicats
Intuitivement, on peut se représenter chaque maison avec son indice, sa couleur, la nationalité de son habitant, etc...  par un "n-uplets" de 6 valeurs : indice, couleur, nationalité, boisson, cigarette , animal .
Dans cette vision du problème , une maison est une relation M portant sur 6 individus, les indices, les couleurs, etc. que l’on note de façon générique M(i,x1,x2,x3,x4,x5).
Par rapport à ce qui précède, les constantes d’indice 1, et 2 ,etc ... conservent leur statut de constantes d’individus, mais les constantes mnémoniques, Jaune, Nor, etc...  qui avaient le statut de symboles de prédicats sont rabattues au niveau des constantes d’individus .
On aura donc par exemple, comme formule atomique M(1,x1,Nor,x3,x4,x5) là où  dans la version précédente, nous avions Nor(1).
Les espèces d’attributs deviennent des espèces d’individus.

Nous aurons ainsi des valeurs de l’espèce Indice, d’autres de l’espèce Couleur, etc....
Pour alléger l’´ecriture, dans la mesure où  nous manipulerons la seule relation M, nous oublierons le nom M pour noter simplement (i,x1,x2,x3,x4,x5). Pour des raisons historiques, nous écrivons A la n´egation de la formule A.
L’implication A → B étant logiquement équivalente à la disjonction A∨B.
Nous utiliserons donc cette formulation de l’implication comme une disjonction !

Sur la quantification , lorsque l’on dit qu’il existe un x tel que A(x), si la variable x prend ses valeurs dans l’ensemble K = {a1,a2,...}, on dit alors que A(a1)∨A(a2)∨... ; ce que l’on écrit de façon synthétique Wa∈K .A(a).
De façon analogue  , si pour tout x on a A(x) , on a en fait que A(a1)∧A(a2)∧... ; ce qui s’écrit aussi Va∈K .A(a).
Comme les ensembles de valeurs des caractéristiques de ce problème sont finis (ils contiennent de fait 5 éléments chacun), chacune des disjonctions et conjonctions correspondant  respectivement, à des quantifications existentielles ou universelles seront également finies.
Nous ferons un usage massif de la quantification existentielle et elle ne concernera que des formules atomiques (les n-uplets).
Pour simplifier l’´ecriture, nous ne mentionnerons pas le quantificateur existentiel : la formule (i,Rouge,Ang,x3,x4,x5) devra donc être comprise comme ∃i,x3,x4,x5.(i,Rouge,Ang,x3,x4,x5).
Placées ainsi, les quantifications peuvent être permutées : la formule précédente est équivalente à ∃x3,x4,x5,i.(i,Rouge,Ang,x3,x4,x5).
On s’autorisera toutefois (avec parcimonie)  à expliciter les quantifications.
Dans un tel cas, pour l’existentielle, on utilisera l’expression de l’existentielle comme alternative; on écrira ainsi la formule précédente : Wa3∈B(i,Rouge,Ang,a3,x4,x5).
De façon analogue, pour la quantification universelle explicite, nous utiliserons sa formulation comme conjonction : par exemple Vi∈I .((i,V ert,x2,x3,x4,x5)∨(i + 1,Blanc,x2,x3,x4,x5)).
Attention, les x2,x3,x4,x5 de la prémisse de l’implication (i,V ert,x2,x3,x4,x5) ne sont pas nécessairement les mêmes que les x2,x3,x4,x5 de la conclusion (i + 1,Blanc,x2,x3,x4,x5) : n’oublions pas la quantification existentielle implicite !
Dans notre problème, ce ne sera  jamais le cas.
En revanche, pour ce concerne le i, puisque le Vi∈I . porte sur la prémisse et la conclusion , leur i est bien le même !
Les axiomes ou contraintes là où  dans la formalisation du paragraphe précédent, une maison était caractérisée par 5 formules atomiques (par ex. V ert(4),All(4),Cafe(4),Marl(4),Pois(4)). 
Dans la présente formalisation, on a une seule formule donnant la relation entre 6 valeurs : (4,Vert,All,Cafe,Marl,Pois).


Lorsque l’on veut formaliser  une information partielle sur une maison (par ex. « l’Anglais habite la maison rouge »), on pose un n-uplet où  certaines valeurs restent indéterminées et variables : (i,Rouge,Ang,x3,x4,x5).
Quel est le statut des variables i,x3,x4,x5 ?
L’énoncé « l’Anglais habite la maison rouge » fixe les valeurs Rouge et Ang comme deuxième et troisième terme de la relation et , même s’il ne fixe pas les autres , il suppose néanmoins de leur existence.
Explicitement formulé, l’axiome 1 serait donc ∃i,x3,x4,x5.(i,Rouge,Ang,x3,x4,x5)  , mais, à l’instar des énoncés en langue naturelle , nous avons décidé de laisser implicite la quantification existentielle.
Ainsi, les contraintes posées par les énoncés numérotés  de 1 à 15 dans la présentation de l’énigme , compte tenu de la notation du quatificateur universel comme conjonction, de la notation de l’implication comme disjonction et de l’usage implicite de la quatification existentielle s’écrivent :

1. (i,Rouge,Ang,x3,x4,x5)
 2. (i,x1,Sue,x3,x4,Chien)
 
3. (i,x1,Dan,The,x4,x5)
 4. Vi∈I .((i,V ert,x2,x3,x4,x5)∨(i + 1,Blanc,x2,x3,x4,x5))
 5. (i,V ert,x2,Cafe,x4,x5)
6. (i,x1,x2,x3,PaMal,Ois)
7. (3,x1,x2,Lait,x4,x5)
8. (i,Jaune,x2,x3,Dunh,x5)
9. (1,x1,Nor,x3,x4,x5)
10. Vi∈I .((i,x1,x2,x3,Roth,x5)∨(i−1,x1,x2,x3,x4,Chat)∨(i + 1,x1,x2,x3,x4,Chat))
11. Vi∈I .((i,x1,x2,x3,x4,Chev)∨(i−1,x1,x2,x3,Dunh,x5)∨(i+1,x1,x2,x3,Dunh,x5))
12. (i,x1,x2,Biere,PhiMo,x5)
13. Vi∈I .((i,x1,Nor,x3,x4,x5)∨(i−1,Bleu,x2,x3,x4,x5)∨(i + 1,Bleu,x2,x3,x4,x5))
14. (i,x1,All,x3,Marl,x5)
15. Vi∈I .((i,x1,x2,Eau,x4,x5)∨(i−1,x1,x2,x3,Roth,x5)∨(i + 1,x1,x2,x3,Roth,x5))

 

Les deux contraintes d’existences induites par la différence de niveau entre individus (valeurs d’indices) et prédicats (couleurs, nationalité, etc.) de la première formalisation, ont ici une formulation uniforme puisque indice, couleur, nationalité, etc... se retrouvent au même niveau.
De façon schématique, si Ki et Kj sont deux espèces, si ai est une valeur dans Ki, on pose _ xj∈Kj .(...,ai,...,xj,...)  soit, dans sa forme développée, si b1 j,b2 j,b3 j,b4 j,b5 j sont les 5 valeurs dans Kj : (...,ai,...,b1 j,...) ∨(...,ai,...,b2 j,...) ∨(...,ai,...,b3 j,...) ∨(...,ai,...,b4 j,...) ∨(...,ai,...,b5 j,...) .
Le nom générique de cette formule est Kjai.
Notez bien  que l’ordre entre i et j n’est pas significatif car dans la notation générique on ne distingue pas (...,xi,...,xj,...) d’avec (...,xj,...,xi,...).
Comme pour l’existence, on peut donner une et une seule formulation générique des contraintes d’unicité.
Soient Ki et Kj deux espèces , on pose : ^c i∈Ki ^ cj∈Kj ((...,ci,...,cj,...) → ^ dj∈Kj (cj 6= dj → (...,ci,...,dj,...)))
Il faut expliciter ici que dans chaque espèce , chacun des symboles de constante dénote une valeur différente : le Jaune est différent du Bleu.
Pour chaque couple de symboles de constante c ou d d’une espèce , on a donc l’inégalité  c 6= d !

Ne pas oublier  les deux contraintes d’inexistence des maisons 0
et 6 : (0,x1,x2,x3,x4,x5) et (6,x1,x2,x3,x4,x5) qui correspondent aux formules N0 et N6.

Justification des règles :

On utilise essentiellement la règle d’élimination des alternatives (règle Cut)
– Avec la formulation de l’implication comme une disjonction, la règle du modus ponens devient un cas particulier de l’élimination de l’aternative.
On dérivera de la règle Cut et des contraintes d’existence et d’unicité ,  une règle de fusion (Merge) et une règle de conflit (Clash).
Par L, L1, Li, Ln, etc... , on désigne soit un n-uplet soit la négation d’un n-uplet, ce que l’on appelle un littéral.
Un littéral L0 est opposable à un littéral L si L0 implique L.
La règle d’élimination d’une alternative s’énonce (règle Cut) : si L1 ∨...∨Li ∨...∨Ln et si L0 i est opposable à  Li alors L1 ∨...∨Li−1 ∨Li+1 ∨...∨Ln. Bien que les quantifications soient implicites, on peut utiliser les règles standard de remplacement d’une constante par une variable existentielle et de particularisation d’une universelle par une constante.

A savoir :
Elimination d’une constante d’un littéral positif : si (...,ci,...) alors (...,xi,...).
Introduction d’une constante dans un littéral négatif : si (...,xi,...) alors (...,ci,...).
L’´elimination d’une constante est tout simplement  la règle standard qui dit que si l’on a A(c) pour une certaine constante c alors il existe x tel que A(x) (ci-dessus, la quantification est implicite).
L’introduction d’une constante se justifie ainsi : la négation d’une existentielle (ici implicite) est équivalente à une universelle négative : ¬∃x.A ≡∀x.¬A.
Et ce qui vaut pour tout x vaut en particulier pour une constante.
Si l’on a fixé deux paires de caractéristiques dans Ki,Kj et Ki,Kk dont une valeur est commune, on peut les fusionner (règle Merge) : si (...,ci,...,cj,...,xk,...) et si (...,ci,...,xj,...,ck,...) alors (...,ci,...,cj,...,ck,...).

Cette règle se justifie ainsi :
l’axiome Kj ci s’écrit Wbj∈Kj(...,ci,...,bj,...,xk,...).
En itérant la règle Cut pour chaque ( ...,ci,...,bj,...,xk,...) auquel (...,ci,...,cj,...,xk,...) est opposable (i.e. ci 6= bj) et en explicitant l’existence pour Kk, on obtient l’alternative (α) : Wak∈Kk(...,ci,...,cj,...,ak,...)De ( ...,ci,...,xj,...,ck,...), on obtient, pour chaque ak 6= ck, le littéral ( ...,ci,...,xj,...,ak,...) où l’on introduit la constante cj pour obtenir (...,ci,...,cj,...,ak,...).
Chacun de ces littéraux est opposable à un terme de l’alternative (α).
D’où , en itérant la règle Cut : (...,ci,...,cj,...,ck,...).
La règle du conflit permet de nier la possibilité de l’association de certaines valeurs (règle Clash) : si (...,ci,...,xj,...,ck,...) et (...,xi,...,cj,...,dk,...) et si ck 6= dk alors (...,ci,...,cj,...,xk,...).
On justifie cette règle en raisonnant par l’absurde :
Supposons (...,ci,...,xj,...,ck,...) et (...,xi,...,cj,...,dk,...) mais (...,ci,...,cj,...,xk,...), c’est-`a-dire (...,ci,...,cj,...,xk,...).
Par fusion, on obtient (...,ci,...,cj,...,ck,...).
D’où, par élimination de la constante ci, (...,xi,...,cj,...,ck,...).
Comme ck 6= dk, on en déduit (...,xi,...,cj,...,dk,...) , ce qui contredit notre deuxième hypothèse .

Les contraintes d’unicité fournissent toute une série de littéraux (...,ci,...,dj,...) opposables à  (...,ci,...,cj,...) avec ci ∈Ki, cj,dj ∈Ki et cj 6= dj  !! 
En effet, si (...,ci,...,dj,...), de la contrainte d’unicité pour les caractéristiques Ki, Kj, on déduit  Vaj∈Kj .(dj 6= ai → (...,ci,...,aj,...)).
D’où , en particulier pour cj 6= dj, (...,ci,...,cj,...).
Dans notre écriture formelle des preuves, l’usage des règles est matérialisée par la justification de chaque ligne.
La liste des justifications utilisée ici est :

Ax.n qui désigne l’axiome numéro n .
Ax.n[i := t] qui désigne la particularisation de l’axiome numéro n à la valeur t (usage implicite de la règle de particularisation);
Cut(ϕ)(ϕ1,...,ϕn) ou` ϕ,ϕ1,...,ϕn   sont soit des numéros de lignes, soit des noms d’axiomes implicites tels IVert,B1,etc. , soit une instance de N0 ou N6 (on note N0[xi := ci], resp. N6[xi := ci], avec xi variable et ci valeur constante).
La justification désigne la règle d’élimination de la disjonction référencée  par ϕ opposée aux formules référencées par ϕ1,...,ϕn .
Clash(α1)(α2) qui d´esigne l’application de la règle de conflit entre les formules désignées par α1 et α2.
Merge(α1,...,αn) qui désigne l’itération de la règle de fusion entre les formules référencées par α1,...,αn.
ElimC(n) qui désigne l’application (possiblement itérée) de la règle d’élimination de constantes dans la formule de la ligne n.

Allez ... Amis Bourguignons ... Encore un petit effort avant la pause suivante  ....
Développons d'abord les étapes de résolution  !!

(1) Le norvégien habite la maison n° 1 :
?1 (1,x1,Nor,x3,x4,x5) Ax.9
___________________________________

(2) On boit du lait dans la maison du milieu (n° 3) :
?2 (3,x1,x2,Lait,x4,x5) Ax.7
___________________________________

(3) La maison bleue est la maison n° 2 :
3.1 (1,x1,Nor,x3,x4,x5) ∨(0,Bleu,x2,x3,x4,x5) ∨(2,Bleu,x2,x3,x4,x5) Ax.13[i := 1]
? 3 (2,Bleu,x2,x3,x4,x5) Cut(3)(1,N0[x1 := Bleu])
___________________________________

(4) La maison verte est la maison n° 4 :
4.1 (1,V ert,x2,x3,x4,x5) ∨(2,Blanc,x2,x3,x4,x5) Ax.4[i := 1]
4.2 (1,V ert,x2,x3,x4,x5) Cut(4.1)(3)
4.3 (3,V ert,x2,x3,x4,x5) Clash(Ax.5)(2)
4.4 (5,V ert,x2,x3,x4,x5) ∨(6,Blanc,x2,x3,x4,x5) Ax.4[i := 5]
4.5 (5,V ert,x2,x3,x4,x5) Cut(4.4)(N6[x1 := Blanc])
?4 (4,V ert,x2,x3,x4,x5) Cut(IV ert)(4.2,3,4.3,4.5)
_____________________________________

(5) La maison blanche est la maison n° 5 :
?5 (5,Blanc,x3,x4,x5) Cut(Ax.4[i := 4])(4
_____________________________________

(6) La maison rouge est la maison n° 3 :
6.1 (1,Rouge,x2,x3,x4,x5) Clash(Ax.1)(Ax.9)
?6 (3,Rouge,x2,x3,x4,x5) Cut(IRouge)(6.1,3,4,5)
_____________________________________

(7) La maison jaune est la maison n° 1 :
?7 (1,Jaune,x2,x3,x4,x5) Cut(IJaune)(3,6,4,5)
_____________________________________

(8) On fume des Dunhill dans la maison n° 1 :
8.1 (1,Jaune,Nor,x3,Dunh,x5) Merge(7,Ax.8,Ax.9)
?8 (1,x1,x2,x3,Dunh,x5) ElimC(8.1)
_____________________________________

(9) L’Anglais habite la maison n° 3 :
9.1 (3,Rouge,Ang,Lait,x4,x5) Merge(6,Ax.1,2)
?9 (3,x1,Ang,x3,x4,x5) ElimC(9.1)
_____________________________________

(10) On boit du café dans la maison n° 4 :
10.1 (4,V ert,x2,Cafe,x4,x5) Merge(4,Ax.5)
?10 (4,x1,x2,Cafe,x4,x5) ElimC(10.1)
_________________________________

(11) Il y a un cheval dans la maison n° 2 :
11.1 (1,x1,x2,x3,Dunh,x5) ∨(0,x1,x2,x3,x4,Chev) ∨(2,x1,x2,x3,x4,Chev) Ax.11[i := 1]
? 11 (2,x1,x2,x3,x4,Chev) Cut(11.1)(8,N0[x5 := Chev])

____________________________________

(12) On boit de l’eau dans la maison n° 1 :
12.1 (1,x1,x2,Biere,x4,x5) Clash(Ax.12)(8)
12.2 (1,x1,x2,Cafe,x4,x5) Clash(Ax.5)(7)
12.3 (1,x1,x2,The,x4,x5) Clash(Ax.9)(Ax.3)
?12 (1,x1,x2,Eau,x4,x5) Cut(B1)(12.1,12.2,12.3,Ax.7)
_________________________________

(13) On fume des Rothmann dans la maison n° 2 :
13.1 (1,x1,x2,Eau,x4,x5) ∨(0,x1,x2,x3,Roth,x5) ∨(2,x1,x2,x3,Roth,x5) Ax.15[i := 1]
? 13 (2,x1,x2,x3,Roth,x5) Cut(13.1)(12,N0[x4 := Roth])
_________________________________

(14) Le Danois habite la maison n° 2 :
14.1 (2,x1,Ang,x3,x4,x5) Clash(Ax.1)(3)
14.2 (2,x1,All,x3,x4,x5) Clash(Ax.14)(13)
14.3 (2,x1,Sue,x3,x4,x5) Clash(Ax.2)(11)
?14 (2,x1,Dan,x3,x4,x5) Cut(N2)(14.1,14.2,14.3,Ax.9)
_________________________________

(15) On boit du thé dans la maison n° 2 :
15.1 (2,Bleu,Dan,The,Roth,Chev) Merge(Ax.3,3,11,13,14)
?15 (2,x1,x2,The,x4,x5) ElimC(15.1)
_________________________________

(16) On boit de la bière dans la maison n° 5 :
?16 (5,x1,x2,Biere,x4,x5) Cut(IBiere)(12,15,Ax.7,10)
_________________________________

(17) On fume des Philipp Morris dans la maison n° 5 :
17.1 (5,Blanc,x2,Biere,PhiMo,x5) Merge(Ax.12,5,16)
?17 (5,x1,x2,x3,PhiMo,x5) ElimC(17.1)
_________________________________

(18) L’Allemand habite la maison n° 4 :
18.1 (5,x1,All,x3,x4,x5) Clash(Ax.14)(17.1)
?18 (4,x1,All,x3,x4,x5) Cut(IAll)(Ax.9,14,9,18.1)
________________________________

(19) On fume des Marlboro dans la maison n° 4 :
19.1 (4,V ert,All,Cafe,Marl,x5) Merge(Ax.14,10.1,18)
?19 (4,x1,x2,x3,Marl,x5) ElimC(19.1)
________________________________

(20) On fume des Pall Mall dans la maison n° 3 :
?20 (3,x1,x2,x3,PaMal,x5) Cut(IPaMal)(8,13,19,17)
_________________________________

(21) Le Suédois habite la maison n° 5 :
?21 (5,x1,Sue,x3,x4,x5) Cut(ISue)(Ax.9,14,9,18)
__________________________________

(22) Il y a un oiseau dans la maison n° 3 :
22.1 (3,Rouge,Ang,Lait,PaMal,Ois) Merge(Ax.6,9.1,20)
?22 (3,x1,x2,x3,x4,Ois) ElimC(22.1)
__________________________________

(23) Il y a un chien dans la maison n° 5 :
23.1 (5,Blanc,Sue,Biere,PhiMo,Chien) Merge(17.1,21,Ax.2)
?23 (5,x1,x2,x3,x4,Chien) ElimC(23.1)
__________________________________

(24) Il y a un chat dans la maison n° 1 :
24.1 (2,x1,x2,x3,Roth,x5) ∨(1,x1,x2,x3,x4,Chat) ∨(3,x1,x2,x3,x4,Chat) Ax.10[i := 2]
? 24 (1,x1,x2,x3,x4,Chat) Cut(24.1)(13,22)
__________________________________

(25) C’est dans la maison n° 4 qu’il y a un poisson!
?25 (4,x1,x2,x3,x4,Pois) Cut(IPois)(24,11,22,23)
?? (4,V ert,All,Cafe,Marl,Pois) Merge(19.1,25)

 

P1000516

Faces Nord de "l'Aiguille Verte" et des "Drus"

 

4) Résolution équationnelle

Dans cette modélisation, on ne conserve comme symboles de constantes que les indices : 1, 2, 3, 4, 5.
Ce qui était avant dans les autres méthodes ,  symboles de constantes pour les valeurs de couleurs, nationalités, etc... deviennent ici des symboles de variables dont il s’agit de déterminer la valeur.
Ces variables prendront leur valeur dans l’intervale [1..5].
Résoudre l’énigme consiste donc ici à déterminer la valeur entière (numéro de maison) de la variable Poisson .
Cela revient donc à résoudre l’équation Pois = i !

La relation entre caractéristiques devient ici l’égalité entre valeurs de variables .
Ainsi, les énoncés de l’énigme, numérotés de 1 à 15  sont transcrits de la façon suivante :

1. Ang = Rouge
2. Sue = Chien
3. Dan = The
4. Blanc = V ert + 1
5. V ert = Cafe
6. PaMal = Ois
7. Lait = 3
8. Jaune = Dunh
9. Nor = 1
10. Roth = Chat + 1∨Roth = Chat−1
11. Chev = Dunh + 1∨Chev = Dunh−1
12. PhiMo = Biere
13. Bleu = Nor + 1∨Bleu = Nor−1
14. All = Marl
15. Roth = Eau−1∨Roth = Eau + 1

 

Les contraintes d’existence sont résumées par la simple disjonction V = 1∨V = 2∨V = 3∨V = 4∨V = 5  .
On nomme IV la disjonction correspondant à la variable V .
La contrainte d’unicité est exprimée par le fait que chaque variable doit recevoir une valeur unique  i.e. différente des valeurs des autres variables .
Pour chaque couple de variables lexicalement différentes V1,V2 qui appartiennent à une même espèce, on a l’inégalité V1 6= V2 .
L’inexistence des maisons d’indice 0 et 6 s’énonce ainsi  : "pour toute variable V V 6= 0 V 6= 6 que l’on nomme schématiquement N0 et N6.


Règles et justifications :
Les deux règles majeures utilisées  sont l’élimination de l’alternative et la réduction à l’absurde.
Pour ces deux règles, nous admettrons que leur utilisation soit étendue aux équations opposables.
Une équation x0 = y0 est opposable à x = y si de x0 = y0 on sait déduire x 6= y.
Si V1 et V2 = n sont deux variables différentes d’une même espèce et t  n’importe quelle expression (constante, variable, etc...) , alors les équations V1 = t et V2 = t sont opposables.
En effet, puisque V1 et V2 = n sont deux variables différentes d’une même espèce, on a l’inégalité  V1 6= V2 .
En y remplaçant V2 par t, comme nous y autorise l’équation V2 = t , on obtient l’inégalité  V1 6= t .
C’est par définition même de la relation d’égalité que l’on peut toujours remplacer un égal par un égal :
Si l’on sait que x = z  dans une équation x = y , on peut toujours remplacer x par z pour obtenbir l’équation logiquement équivalente z = y.

La relation d’égalité est symétrique :
Nous assimilerons les équations x = y et y = x.
Les justifications issues des règles  utilisées ici sont :
Ax.n l’axiome n° n.
Ax.n [α] l’axiome n° n où l’un des termes a été remplacé en conformité avec l’´equation référencée par α.
Hyp : pose d’une hypothèse (en vue d’une réduction à l’absurde).
Abs (n)(α1,α2) : la réduction à l’absurde de l’hypothèse posée ligne n par la contradiction entre les équations et inéquations  référencées α1 et α2.
Cut(α)(α1,...,αn) : l’élimination entre la disjonction référencée par α et les inéquations (ou équations) référencées par α1,...,αn .


Passons sans plus attendre aux étapes de résolution !

 

(1) Le norvégien habite la maison n° 1 :
?1 Nor = 1 Ax.9

(2) On boit du lait dans la maison du milieu (n° 3) :
?2 Lait = 3 Ax.7


(3) La maison bleue est la maison n° 2 :
3.1 Bleu = 0∨Bleu = 2 Ax.13 [1] ?3 Bleu = 2 Cut(3)(N0)


(4) La maison verte est la maison n° 4 :
4.1 V ert = 1 Hyp
4.2 Blanc = 2 Ax.4 [5]
4.3 V ert 6= 1 Abs (4.1)(4.2,3)
4.4 V ert = 3 Hyp
4.5 Cafe = 3 Ax.5 [4.4]
4.6 V ert 6= 3 Abs (4.4)(4.5,3)
4.7 V ert = 5 Hyp
4.8 Blanc = 6 Ax.4 [4.7]
4.9 V ert 6= 5 Abs (4.7)(4.8,N6) ?4 V ert = 4 Cut(IV ert)(4.3,3,4.6,4.9)


(5) La maison blanche est la maison n° 5 :
?5 Blanc = 5 Ax.4 [4]


(6) La maison rouge est la maison n° 3 :
6.1 Rouge = 1 Hyp
6.2 Ang = 1 Ax.1 [6.1]
6.3 Rouge 6= 1 Abs (6.1)(6.2,1) ?6 Rouge = 3 Cut(IRouge)(6.3,3,4,5)


(7) La maison jaune est la maison n° 1 :
?7 Jaune = 1 Cut(IJaune)(3,6,4,5)


(8) On fume des Dunhill dans la maison n° 1 :
?8 Dunh = 1 Ax.8 [7]


(9) L’Anglais habite la maison n° 3 :
?9 Ang = 3 Ax.1 [6]


(10) On boit du caf´e dans la maison n° 4 :
?10 Cafe = 4 Ax.5 [4]


(11) Il y a un cheval dans la maison n° 2 :
11.1 Chev = 0∨Chev = 2 Ax.11 [8]
?11 Chev = 2 Cut(11.1)(N0)


(12) On boit de l’eau dans la maison n° 1 :
12.1 Biere = 1 Hyp 1
2.2 PhiMo = 1 Ax.12 [12.1]
12.3 Biere 6= 1 Abs (12.1)(12.2,8)
12.4 The = 1 Hyp
12.5 Dan = 1 Ax.3 [12.4] 12.6 The 6= 1 Abs (12.4)(12.5,1)
?12 Eau = 1 Cut(B1)(12.3,10,12.6,2)


(13) On fume des Rothmann dans la maison n° 2 :
13.1 Roth = 0∨Roth = 2 Ax.15 [12]
?13 Roth = 2 Cut(13.1)(N0)


(14) Le Danois habite la maison n° 2 :
14.1 All = 2 Hyp
14.2 Marl = 2 Ax.14 [14.1]
14.3 All 6= 2 Abs (14.1)(14.2,13)
14.4 Sue = 2 Hyp
14.5 Chien = 2 Ax.2 [14.4]
14.6 Sue 6= 2 Abs (14.4)(14.5,11)
?14 Dan = 2 Cut(N2)(9,14.3,14.6,1)


(15) On boit du thé dans la maison n° 2 :
?15 The = 2 Ax.3 [14]


(16) On boit de la bière dans la maison n° 5 :
?16 Biere = 5 Cut(IBiere)(12,15,2,10)


(17) On fume des Philipp Morris dans la maison n° 5 :
?17 PhiMo = 5 Ax.12 [16]


(18) L’Allemand habite la maison n° 4 :
18.1 All = 5 Hyp
18.2 Marl = 5 Ax.14 [18.1]
18.3 All 6= 5 Abs (18.1)(18.2,17)
?18 All = 4 Cut(IAll)(1,14,9,18.3)


(19) On fume des Marlboro dans la maison n° 4 :
?19 Marl = 4 Ax.14 [18]


(20) On fume des Pall Mall dans la maison n° 3 :
?20 PaMal = 3 Cut(IPaMal)(8,13,19,17)


(21) Le Su´edois habite la maison n° 5 :
?21 Sue = 5 Cut(ISue)(1,14,9,18)


(22) Il y a un oiseau dans la maison n° 3 :
?22 Ois = 3 Ax.6 [20]


(23) Il y a un chien dans la maison n° 5 :
?23 Chien = 5 Ax.2 [21]


(24) Il y a un chat dans la maison n° 1 :
24.1 Chat = 1∨Chat = 3 Ax.10 [13]
?24 Chat = 1 Cut(24.1)(22)


(25) C’est dans la maison n° 4 qu’il y a un poisson!
?25 Pois = 4 Cut(IPois)(24,11,22,23)

 

Hé bien voilà ... Amis Bourguignons ... Nous avons fait le tour des quatre possibles méthodes de résolution !
Mais ... Ce n'est pas fini !!!
Après une autre petite pause , je vous invite à prendre connaissance de mon "Résumé Graphique" !!


P1000507

Les "Grandes Jorrasses"

 

5) Résumé graphique des étapes de résolution :

 

1

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

 

Norvégien

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

2

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

 

Norvégien

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

Lait

 

 

4

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

3

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

 

Norvégien

 

 

 

2

Bleu

 

 

 

 

3

 

 

Lait

 

 

4

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

4

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

 

Norvégien

 

 

 

2

Bleu

 

 

 

 

3

 

 

Lait

 

 

4

Vert

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

5

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

 

Norvégien

 

 

 

2

Bleu

 

 

 

 

3

 

 

Lait

 

 

4

Vert

 

 

 

 

5

Blanc

 

 

 

 

 

 

 

6

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

 

Norvégien

 

 

 

2

Bleu

 

 

 

 

3

Rouge

 

Lait

 

 

4

Vert

 

 

 

 

5

Blanc

 

 

 

 

 

 

 

7

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

 

 

 

2

Bleu

 

 

 

 

3

Rouge

 

Lait

 

 

4

Vert

 

 

 

 

5

Blanc

 

 

 

 

 

 

 

8

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

 

Dunhill

 

2

Bleu

 

 

 

 

3

Rouge

 

Lait

 

 

4

Vert

 

 

 

 

5

Blanc

 

 

 

 

 

 

 

9

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

 

Dunhill

 

2

Bleu

 

 

 

 

3

Rouge

Anglais

Lait

 

 

4

Vert

 

 

 

 

5

Blanc

 

 

 

 

 

 

 

10

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

 

Dunhill

 

2

Bleu

 

 

 

 

3

Rouge

Anglais

Lait

 

 

4

Vert

 

Café

 

 

5

Blanc

 

 

 

 

 

 

 

11

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

 

Dunhill

 

2

Bleu

 

 

 

Cheval

3

Rouge

Anglais

Lait

 

 

4

Vert

 

Café

 

 

5

Blanc

 

 

 

 

 

 

 

12

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

Eau

Dunhill

 

2

Bleu

 

 

 

Cheval

3

Rouge

Anglais

Lait

 

 

4

Vert

 

Café

 

 

5

Blanc

 

 

 

 

 

 

13

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

Eau

Dunhill

 

2

Bleu

 

 

Rothmann

Cheval

3

Rouge

Anglais

Lait

 

 

4

Vert

 

Café

 

 

5

Blanc

 

 

 

 

 

 

14

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

Eau

Dunhill

 

2

Bleu

Danois

 

Rothmann

Cheval

3

Rouge

Anglais

Lait

 

 

4

Vert

 

Café

 

 

5

Blanc

 

 

 

 

 

 

15

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

Eau

Dunhill

 

2

Bleu

Danois

Thé

Rothmann

Cheval

3

Rouge

Anglais

Lait

 

 

4

Vert

 

Café

 

 

5

Blanc

 

 

 

 

 

 

16

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

Eau

Dunhill

 

2

Bleu

Danois

Thé

Rothmann

Cheval

3

Rouge

Anglais

Lait

 

 

4

Vert

 

Café

 

 

5

Blanc

 

Bière

 

 

 

 

17

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

Eau

Dunhill

 

2

Bleu

Danois

Thé

Rothmann

Cheval

3

Rouge

Anglais

Lait

 

 

4

Vert

 

Café

 

 

5

Blanc

 

Bière

Philipp Morris

 

 

 

18

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

Eau

Dunhill

 

2

Bleu

Danois

Thé

Rothmann

Cheval

3

Rouge

Anglais

Lait

 

 

4

Vert

Allemand

Café

 

 

5

Blanc

 

Bière

Philipp Morris

 

 

 

19

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

Eau

Dunhill

 

2

Bleu

Danois

Thé

Rothmann

Cheval

3

Rouge

Anglais

Lait

 

 

4

Vert

Allemand

Café

Marlboro

 

5

Blanc

 

Bière

Philipp Morris

 

 

 

20

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

Eau

Dunhill

 

2

Bleu

Danois

Thé

Rothmann

Cheval

3

Rouge

Anglais

Lait

Pall Mall

 

4

Vert

Allemand

Café

Marlboro

 

5

Blanc

 

Bière

Philipp Morris

 

 

 

21

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

Eau

Dunhill

 

2

Bleu

Danois

Thé

Rothmann

Cheval

3

Rouge

Anglais

Lait

Pall Mall

 

4

Vert

Allemand

Café

Marlboro

 

5

Blanc

Suédois

Bière

Philipp Morris

 

 

 

22

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

Eau

Dunhill

 

2

Bleu

Danois

Thé

Rothmann

Cheval

3

Rouge

Anglais

Lait

Pall Mall

Oiseau

4

Vert

Allemand

Café

Marlboro

 

5

Blanc

Suédois

Bière

Philipp Morris

 

 

 

23

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

Eau

Dunhill

 

2

Bleu

Danois

Thé

Rothmann

Cheval

3

Rouge

Anglais

Lait

Pall Mall

Oiseau

4

Vert

Allemand

Café

Marlboro

 

5

Blanc

Suédois

Bière

Philipp Morris

Chien

 

 

24

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

Eau

Dunhill

Chat

2

Bleu

Danois

Thé

Rothmann

Cheval

3

Rouge

Anglais

Lait

Pall Mall

Oiseau

4

Vert

Allemand

Café

Marlboro

 

5

Blanc

Suédois

Bière

Philipp Morris

Chien

 

 

25

Maison

Couleur

Nationalité

Boisson

Cigarettes

Animal

1

Jaune

Norvégien

Eau

Dunhill

Chat

2

Bleu

Danois

Thé

Rothmann

Cheval

3

Rouge

Anglais

Lait

Pall Mall

Oiseau

4

Vert

Allemand

Café

Marlboro

Poisson

5

Blanc

Suédois

Bière

Philipp Morris

Chien

 

 

Pour terminer ...
Grand Merci aux rédacteurs de "M - N" pour leur saine curiosité scientifique ainsi que pour leur aimable hospitalité !

Merci également aux lecteurs pour avoir pris la peine de lire jusqu'au bout ...  fut-ce au prix d'une bonne "céphalée" !!

Mention particulière à notre ami "cntrbbl71" pour avoir résolu l'énigme en un temps tout à fait honorable !

 

Soyez tous assurés de ma plus profonde sympathie !

PH C-B

Chamonix le 06 Août 2015

 

 

Tout spécialement à l'attention de notre ami "Daniel Z" !

La présente page étant déjà "copieusement" surchargée , je ne peux donc pas inclure à la suite , mon raisonnement sur le "problème des échelles" !

Veuillez donc , je vous prie , cliquer ici pour en prendre connaissance !

En espérant  répondre à votre question !

Au plaisir de vous lire !

Bien amicalement !

 

 

Une dernière ... juste pour le plaisir !

P1000537

 

 

 

 

 

Commentaires (1)

cntrbbl71
  • 1. cntrbbl71 | 28/12/2015
Bonjours, et bravo pour toutes vos présentations, photos comprises.
Ma méthode intuitive, moins scientifique que les vôtres :
Création d'un tableau avec 5 colonnes avec les n° d'emplacement 1 à 5 et 5 lignes pour les critères
Déductions successives :
De 9 : Norvégien maison 1
De 13 : maison 2 bleue
De 4 : maisons voisines verte et blanche >>en 3 et 4 ou 4 et 5
De 7 : maison 3 boit du lait
De 5 : maison verte boit du café, ne peut donc pas être en 3, ayant la blanche à sa droite (de 4) il ne reste que la possibilité maison verte en 4 et donc blanche en 5
De 9 et de 1 : un Anglais habitant une maison rouge ne peut plus que se trouver en 3
Reste une seule case couleur pour le jaune qui se trouve donc en 1 chez le Norvégien
De 8 : c'est donc le Norvégien qui fume des Dunhill
De 11 :le fumeur de Dunhill à un voisin qui possède cheval, donc dans la maison 2
De 3 : le Danois est en 2 ou 5 puisqu'il boit du thé
De 12 : le fumeur de de Philip Morris qui boit de la bière ne peut être qu'en 2 ou 5 également
Des 2 lignes précédente, une seule place pour l'eau, la 1
De 15 : le voisin unique du buveur d'eau est donc en 2 et fume des Rothmann
De 12 : le fumeur de de Philip Morris qui boit de la bière ne plus qu'être en 5
De 3 : une seule place pour le Danois et son thé, la 2
De 14 : Une seule place pour Allemand et Malboro, la 4
Reste libre pour le Suédois la maison 5
De 2 : il a un chien
Libre pour les Pall Mall la maison 3
De 6 : il a un oiseau
De 10 : le voisin du fumeur de Rothmann qui possède un chat est le Norvégien en 1, le 3 ayant un oiseau
Ne reste que la maison 4 de l'Allemand pour recevoir le poisson rouge

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